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チェロの力学
第1章 弦の張力と固有振動数 |
チェロの弦の張力が、4本でどの位あるか計算して見ました。 計算をしたチェロの寸法は下図の物です。
下の図1は弦の張力と振動数との関係を模式図にしたものです。 弦の張力とバネ定数の関係は(2)式で表せます。 弦に質量が無いと仮定した場合、弦に付けられた集中質量mとバネ定数kから、(1)式で固有振動数が計算できます。
弦に質量がある場合は、弦の質量msを加味して、(3)式で固有振動数が計算できます。
m=0 の場合の固有振動数は、(1)と(2)の関係から、(5)式のようになります。
チェロの4本の弦は、下から
C,G,D,A に調弦され、それぞれの固有振動数は分かりますので、(5)式において、弦の長さLと弦の質量msが分かれば、それぞれの弦の張力が計算できます。
図1
弦の質量msは、弦の種類によって若干違いがあります。 JARGER と PIRASTRO
FLEXOCOR CHROMESTEEL
の2種類の弦で、弦の張力を計算して見ました。 弦の質量msは、ナットから駒までの 69cm 部の質量と、後で計算で使う、駒からテールピースまでの 12.5cm 部の質量を、実測値から使用した。
表1 弦の質量 ms 単位:gr
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JARGER |
FLEXOCOR CHROMESTEEL |
|
単位長質量 |
69cm質量 |
12.5cm質量 |
単位長質量 |
69cm質量 |
12.5cm質量 |
C |
0.142 |
9.80 |
1.78 |
0.139 |
9.59 |
1.74 |
G |
0.070 |
4.83 |
0.88 |
0.064 |
4.42 |
0.80 |
D |
0.034 |
2.34 |
0.43 |
0.036 |
2.48 |
0.45 |
A |
0.019 |
1.31 |
0.24 |
0.019 |
1.31 |
0.24 |
弦の振動数 ωn=2πf
であるので、(5)式を変形し簡略化すると、
T=0.231*f*f*ms となり、表1の値を代入すると、下記のように弦の張力が計算された。
表2 弦の張力 T 単位:Kg
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JARGER |
FLEXOCOR CHROMESTEEL |
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開放弦の固有振動数
f
(Hz) |
弦の張力(Kg) |
弦の張力(Kg) |
C |
66 |
9.9 |
9.6 |
G |
99 |
10.9 |
10.0 |
D |
146.6 |
11.6 |
12.3 |
A |
220 |
14.6 |
14.6 |
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4弦合計値 |
47Kg |
46.5Kg |
非常に単純な近似計算ですが、以上で、チェロのネックやテールピースは、約40−50Kg の力で引っ張られている事が分かった。
弦の張力と固有振動数編はこれで終わりです。
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Updated:2008/5/23
First Updated:2005/4/28
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